Re:RTs balsamicoseさんは現実に行われている「ひでぇおしえかた」をストレートに指摘してくれることがよくある。結構参考にしている。∫ f(x) dx の∫とdxがまるで「かっこ、かっことじ」のような扱いになっていると思っている高校生が結構いる？ひどすぎwww

df/dx は Δf/Δx の極限で、∫_a^b f(x) dx は Σ_i f(x_i) Δx_i の極限だってことさえわかっていないとすれば、微分積分については何もわかっていないのと同じだよね。

微分積分以前の問題として極限の理解も要注意。lim_{h→α} φ_h = β をまるでhにαを代入する操作であるかのように思っているだけだとアウト。極限を取りきった結果だけではなく、「hがαに近ければφ_hもβに近くなる」というような途中の近似の様子もイメージしなければダメ。

lim_{h→α} φ_h=βはφ_h = β + (誤差)　　(誤差はhがαに近づくと0に近づく)のような関係だと思っておいた方が応用が効くと思う。極限と取った結果に関する等式ではなく、極限と取る途中の「誤差」を含む関係を意識しないと応用が効かない。

lim_{Δx→0}(ε(Δx)/Δx)=0は、ε(Δx)はΔxよりも高次の微小量であるのように言いたくなる関係を意味すると理解しておかないと苦しい。

df(x)/dx=a も、Δf(x)=f(x+Δx)-f(x)とおくとき、Δf(x) = a Δx + (Δxより高次の微小量)を意味すると理解しておかないと相当に苦しい。そして、高次の微小量は必要に応じて無視できるということも知っておかないとダメ。

個人的に高校や大学新入生向けの微積分の講義は「理系の常識」に合わせたスタイルにするのが妥当だと思っています。教科書通りだと「理系の常識」に合わせたスタイルにはならない。(ただし、数学的内容がすっかすかにならないように注意が必要。漸近挙動の調べ方を主題にすえるのはどうか？)

問題：lim_{h→0}(1+h)^{1/h}=eは有名。すなわち(1+h)^{1/h} = e + (h→0で0に収束する誤差).「h→0で0に収束する誤差」の部分をもっと詳しく調べよ。これは高校数学においても基本的な問題のはず。教える側にはこういう知識が必要。

続き。これは再掲になりますが、大学1年レベルでは「f(x)=(1+x)^{1/x} のx=0におけるTaylor展開を求めよ」はよい演習問題だと思います。試験問題にしてもいいと思う。

続き。(1+x)^{1/x}のx→0での極限がeになることを知っていたとしても、xが0に近いとき(1+x)^{1/x}がeからどれだけ離れているかを概算できないようでは理解が雑だと思います。収束先の値だけではなく、収束の仕方がどうなっているかも調べておきたいです。

続き。以上のようなことを考えるときに、道具を制限するのは健全ではないと思う。解析結果が正しければ「なんでもあり」の自由な精神になることが大事。「大学入試では○○を使うと減点される」のような都市伝説の拡散に怒っている人達が結構いるのは自由な精神を破壊する行為だからです。

f(x)=(1+x)^{1/x}のx=0近傍での様子の解析例：log f(x)=(1/x)log(1+x)=(1/x)(x-x^2/2+x^3/3-…)=1-x/2+x^2/3-…なのでf(x)=e e^{-x/2} e^{x^2/3}…=e(1-x/2+11x^2/24-…)．

続き。特に、xが微小なとき、(1+x)^{1/x}=e(1-x/2+O(x^2))と一次近似されます。大きなnに関する(1+1/n)^nでeを近似したときの相対誤差は大体1/(2n)×100%程度になります。1+1+1/2+1/6+…+1/n!より圧倒的に収束が遅い。

#数楽http://togetter.com/li/1059561 (dz/dy)(dy/dx)=dz/dx を「分子分母のdyが約分されるからだ」が誤解を招くだけではなく、「約分と考えるのは計算の便法だ」と言うことも誤解を招くと思う。続く

#数楽 続き。私がず～っと強調していることは「極限を取った後の等式ではなく、極限を取りきる前の「誤差」を含む関係式をイメージしておくことが大事だ」ということ。「誤差」を含む関係式のレベルではdxなどを(dxやΔxなどの記号の形で)単体で取り出すことができます。続く

#数楽 続き。dxを単体で取り出せるなら、約分ができても全然問題ないわけです。ただし、誤解を防ぐためには「誤差」を含む関係式を考えなければいけない。単にそれだけのこと。「a=dy/dx」は「Δy=a Δx+(Δxより高次の微小量)」の略記だと思っておけば問題無し。

#数楽 続き。大学新入生レベルよりは進んだ数学の教科書では、dxを線形汎函数として定義したりしますが、それはΔxをΔxが小さくなくても自由に取り出せるという話を言い直しただけ。解析学なんだから常に「ある極限で無視できる誤差」を含む関係式を意識した方が健全だと思う。

#数楽 大学新入生レベルの微積分では、極限を取った結果の等式の方ではなく、極限を取り切る前の「誤差」を含む関係式の方を強調しないと、色々な意味で不健全になりやすいと思う。「誤差」を含む関係式を書くのは面倒なので短く書ける方の式を使うことが多い、のように考えれば問題解決。

#数楽 微積分についてわかりすく説明するために描かれる図は(当たり前のことですが)どれも極限を取りきった結果の等式ではなく、極限を取り切る前の「誤差」を含む関係式の方。

#数楽Δf=f(x+Δx)-f(x)とおくとき、Δf=a Δx+(Δxより高次の微小量)を満たすaが存在することとfか微分可能なことは同値。数学の本では、Δxをdxと書き、a Δxをdfと書くことがあります：Δf=df+(dxより高次の微小量)、df=a dx．

#数楽 続き。その記号法では、df/dx=aの左辺は本当に分数だと思うこともできます。上のスタイルの心は一階の微分は一次近似ということです。ΔfとΔxからdfとdxの記号法にうつるときにdx=Δxより高次の微小量を除いて一次近似の部分だけを残している。

#数楽 解析学ではA=B+εという見方が基本だと思う。よくあるパターンでは、Aは複雑な何か、Bはよくわかる何か、εは複雑な何かをよくわかる何かで近似したときの誤差です。このスタイルで理解しておけば証明と直観がほとんど離れずにすむ。

#数楽 微分は(一次近似)+(誤差)の話でしかない。それを足し上げるともとに戻るのは自明。一次近似の部分の積分でもとに戻るのは、足し上げた誤差の部分が和から積分への極限で0になるから。

#数楽 誤差の部分にはっきり言及していれば相当にテキトーなことをやっても議論の健全性が保たれることが多いと思う。

https://twitter.com/kururu_goedel/status/814667154318626817 …こういう質問は非常に助かります。分かりにくかったですよね。ごめんなさい。∫_a^b f(x)dxがΣ_i f(x_i) Δx_iの極限だということがわかっていれば、Σ→∫、Δx→dxという対応になっていることは明らかなので～続く

続き～、∫_a^b f(x)dxを「まるで括弧のように使われている∫_a^bとdxによってf(x)が囲まれている」と解釈することは無くなるだろうという程度の話です。積分とは微小に分割して足し上げた結果のことであるというような理解がないと積分については何も理解していないのと同じ。

続き。記号法∫_a^b f(x)dxにおけるf(x)dxは「微小に分割したものの一つ」を表し、∫_a^bは「それを足し上げること」を意味しているというのが普及している積分の記号法の標準的な解釈の仕方だと思います。これがわかっていれば∫とdxを「括弧のようなもの」とは考えない。

続き。ついでにdf/dxが本当に分数だと思うこともできるという話の解説を追加。df=a(x)dxのdxはベクトルΔx d/dxにΔxを対応させる線形汎函数です。Δxもdxと書くことにしてしまえば、微係数df/dx=a(x)は本当にdfをdxで割ったものになります。続く

続き。2変数函数の場合のdf=a(x,y)dx+b(x,y)dyの場合には、dxとdyはベクトルΔx ∂/∂x+Δy ∂/∂yをそれぞれΔxとΔyに対応させる線形汎函数です。面倒なのでΔx,Δyもdx,dyと書いてしまいましょう。続く

続き。dy=Δy=0の場合の「分数」df/dx=a(x,y)が偏微分∂f/∂xです。偏微分も分数だと思って構いません。積分定数さんもどこかに書いていたと思いますが、どういう分数なのか明確にしていれば偏微分も分数だと思って問題ありません。続く

続き。dyを分子分母でキャンセルさせてdz/dy dy/dx=dz/dxと計算することは分数の計算としても合成函数の微分の計算としても正しいです。偏微分の場合には注意しなければいけないことが熱力学の本なんかによく書いてあります。しかし、それを「分数と思っちゃいけない」という～続く

続き～話であるかのように説明するのは論理的にずさんだと責められても仕方がない行為になってしまいます。なぜならば偏微分がどのような意味での分数なのかを明瞭にすることによってきちんと説明することができるから。自分で書くのが面倒なので積分定数さんによる解説を見つけたいが見付からない。

続き。発見できました。1つ前と2つ前のツイートで私が言いたいことはリンク先の積分定数さんによる連続ツイートに書いてあります。https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/809013068789268481 …

続き。上の方で「線形汎函数」ような用語を持ち出して説明した「微分」の概念は一次近似をすませた後の数学的対象を無限小の概念に頼らずにどのように明晰に定式化するという話になっています。大学1年生向けの解説ではそこまですすむのは結構大変。私はそこまですすむ授業はできていません。続く

続き。私の個人的な意見では、微分について習う生徒が最初に習得すべき概念は「一次近似」だと思います。f(x+Δx)=f(x)+a(x)Δx+(Δxより高次の微小量の誤差)のように「誤差」の部分を意識し、必要に応じて「誤差」を無視するという考え方が大事だと思います。続く

続き。単に論理的に厳密になるからという理由でε-δで大学1年生レベルの解析学を理学部や工学部の一般学生に教えることはまた別の面で不健全な教え方になりやすいと思う。ε-δで教えるなら誤差の部分をきちんと意識させるためにするべきだと思う。私はε-δで講義をやりませんが。続く

続き。極限を取った結果だけではなく、極限を取る途中の様子をきちんと認識しておいて、どういうときにどの部分の誤差をどのような意味で無視して大丈夫かを認識できるようになれば、大抵の場合に困ることはなくなると思います。

続き。上の方の「(偏)微分も分数だと思える」という話には当然「一次近似の誤差を除いた部分のみを考えている」という但し書きが必要。おそらく大学1年レベルでは後者の「一次近似」とか「誤差」とか「誤差を除いた部分」のような理解が大事なんだと思う。

https://twitter.com/kururu_goedel/status/814715522264821760 …∫_a^b f(x)dxを【そういう気分で定義されたひとまとまりの記号】と個人的に見るのは自由だと思いますが、理工系の授業でそのように教えることは個人的にはよろしくないと思う。∫_a^b と f(x)dx は分離可能で問題無し。続く

続き。一般理工系ではなく、純粋数学の学科の学生相手であっても、どうせ進んだ数学を勉強すれば ∫_a^bとf(x)dx は分離可能で問題無しとなるわけだし、∫_a^b f(x)dxを「ひとまとまりの記号」を教えることにメリットはないと思う。もちろん個人でそう思う自由はある。

微分形式とその積分の標準的な話です。

補足・微分形式ωのchain K上の積分を∫_K ω と書いたりします。・あとf(x)dxをsigned measure(またはcomplex measure)とみなすこともできて、そのK上の積分を∫_K f(x)dxと書くこともできます。

続き。ううむ…。上の方での「dxが接ベクトルΔx ∂/∂xをΔxに対応させる線形汎函数だ」という話は微分形式の話です。以上の連続ツイートは大学で数学を教えている人達に通じるように書けばよいという方針で書きました。微分形式を知らない人は読者対象ではないです。続く

続き。df=a(x)dxのdxを「無限小」と解釈する方針ではなく、dxの大きさは任意であり、f(x+dx)-f(x)=a(x)dx+ε (εはdxより高次の微小量、lim_{dx→0}(ε/dx)=0)のa(x)dxの部分をdfの「定義」とするのが全微分のいつもの定義です。続く

続き。要するにf(x+dx)の一次近似の式f(x+dx)=f(x)+a(x)dx+εのdxについて1次の部分のことをdfと書くというのが全微分の「定義」です。すなわち、df=a(x)dxです。dfはf(x+dx)-f(x)そのものではなく、一次近似の誤差εを除いたものです。続く

続き。以上のようなdfの解釈であれば、普通にdfを定義できるわけです。そのような定義のもとではdf=f'(x)dxという公式が近似抜きに厳密に成り立っています。dxの部分の取り扱いを明瞭にするためには、dxを接ベクトルa d/dxをaに対応させる線形汎函数だと定義するわけ。続く

続き。「接ベクトルa d/dx」のような概念を持ち出すと少し面倒だと感じる人がいるかもしれませんが、その部分は本質的でも何でもなくて、一次近似の式f(x+h)=f(x)+f'(x)h+εのhに関する一次の部分を取り出したものがdfなわけです。上ではh=dxと書いた。それだけ。続く

続き。a(x)dxは微分形式なのですが、微分形式はdf=f'(x)dxの形でも得られるし、∫_a^b f(x)dxは微分形式f(x)dxの積分だと思うこともできるわけです。dxは直観的には無限小と思ってよいのですが、そう思わないことによって普通に数学的にも定義される。

続き。以上のような話は数学科の学部3年生レベルの話。

【チェインルールあたりで完全に分数扱いして、偏微分入ったあたりで全滅して、熱力学で訳分からなくなるのが定番コース】というのは表記レベルで単純に分数だと思ってはいけないという話にするなら問題無し。しかし、適切に分数だとみなせば問題ないという点にも触れないとまずい。続く

続き。偏微分の周辺で学生が理解し難く原因は概念レベルで難しいからではなく、概念レベルでの区別が反映されない省略した書き方が普通になっていることだと思います。偏微分の∂f/∂x、∂f/∂yを分数だと思うためには2つの∂fを概念的に異なるものだと思わないといけない。続く

続き。偏微分に関する省略した書き方の問題と概念レベルでの問題を混同しない方がよいという意見は積分定数さんも述べています。次のリンク先の連続ツイートを見て下さい。続くhttps://twitter.com/sekibunnteisuu/status/809014722540376064 …

続き。あと数学的厳密さを気にする人はdf=f'(x)dxと書くときのdfや∫_a^b f(x)dxと書くときのf(x)dxが数学的に厳密に定義されていることを当然だと思えないような人達の発言を参考にするべきではありません。微分形式の話の入り口の話。続く

続き。数学の教科書にあるような微分形式の定義の仕方(初学者にとってはややこしい)をする前に以下のような説明があってもよいと思いました。2変数函数f=f(x,y)に対するdfという「量」がどのように定義されていると思えば、微分形式の話に繋げ易くなるか。それはこうです。続く

続き。f(x+dx,y+dy)=f(x,y)+df+ε. ここでdfはdxとdyに線形に依存し、εは(dx,dy)より高次の微小量です((dx,dy)→(0,0)のときε/√((dx)^2+(dy)^2)→0)。(dx,dy)は微小でなくても構いません。続く

続き。要するに、f(x,y)を0次近似とするときのf(x+dx,y+dy)の1次近似のdx,dyに関する線形項がdfです。εは1次近似の誤差。dfはdx,dyについて線形なのでdf=a(x,y)dx+b(x,y)dyと書けます。続く

続き。「1次近似における線形項がdfである」というスタイルにしておけばdfを数学的に厳密に定義できます。dy=0のときの分数df/dx=a(x,y)が∂f/∂xに一致し、dx=0のときの分数df/dy=b(x,y)が∂f/∂yに一致することも示せます。続く

続き。以上のようなスタイルでは偏微分を本当の(極限操作無しの)分数だと思えます。近似が必要な部分を1次近似に過程に追い出してあり、dfと書いた途端に1次近似で生じる誤差を除いたものになっているので、(dy=0のときのdf)/dx=∂f/∂xの左辺が本当に分数だと思えるのです。続く

続き。(偏)微分を扱うときに、近似が必要な部分を1次近似の過程に追い出してしまい、1次近似の誤差εを忘れないようにしておけば、数学的な厳密さが保たれるのと同時に、dfが適切に(論理的な曖昧さ抜きに)定義された量だと思うことができます。続く

続き。以上のようにして出て来るdfのような量をさらに抽象的に定義しておいて数学的に扱い易くしたものが、数学者が書いた教科書に載っている微分形式の定義です。微分形式は「積分できるもの」でもあります。微分形式の概念は数学的に厳密でかつ記号法的にも恐ろしく使い易いものになっています。

続き。Leibnitz式の使い易い微積分の記号法は概念的には微分形式の数学的に明晰に定義に繋がっているように思えます。微分形式は記号法的にも恐ろしく使い易く、微分と積分の概念を美しく統合する舞台にもなっています。数学の応用先から純粋数学まで万能に役に立つ道具だと思う。

続き。「偏微分の計算で分子の∂xと分母の∂xを不用意に約分してはいけない」と言うのは正しいですが、「偏微分を分数だと思ってはいけない」と言うのは誤りとみなした方がよい。「何を何で割ったものなのかについて省略して書く習慣なので混乱が生じやすくなる」と教えた方がわかりやすいと思う。

続き。リンク先のツイートで終わる連続ツイートも上の方でした解説と本質的にほぼ同じ内容になっています。https://twitter.com/genkuroki/status/814809896403095552 …

続き。次のリンク先から始まる連続ツイートもほぼ同趣旨の事柄。https://twitter.com/genkuroki/status/814725208871292928 …

続き。次のリンク先は去年の12/15の連続ツイート。https://twitter.com/genkuroki/status/809224771791515650 …

続き。あと次も見ておいた方がいいかな。https://twitter.com/genkuroki/status/814740381073973248 …

続き。「∫_a^b f(x)dx」という記号法を使うときに「∫_a^b」「dx」を「かっこ」「かっことじる」のようなものだと思うのはLeibnitz流の記号法の直観的分かり易さを大幅に削ってしまうので止めた方がいいと思う。続くhttps://twitter.com/kururu_goedel/status/814741338826702853 …

続き。一方、概念的に積分を「函数を数に対応させる写像」とみなすのは正しいし、普通の考え方でもあるので問題無し。ただし、積分は「微分形式(や符号付測度)に数を対応させる写像」ともみなせることにも注意を払っておかないとまずい。

続き。積分は函数fを∫_a^b f(x)dxに対応させる写像ともみなせるし、微分形式(もしくは符号付測度)f(x)dxを∫_a^b f(x)dxに対応させる写像ともみなせます。数学では、記号法的に、函数f(x)だけではなく、微分形式f(x)dxも定義されていると普通は考えます。

続き。∫_a^b f(x)dx のf(x)dxの部分を微分形式とみなした方がよいか、それともsigned measureもしくはcomplex measureとみなした方がよいかは文脈によります。

続き。あと積分を使うときに∫_a^b dx f(x)と書くことも結構ある(物理の教科書ではよく見るという印象がある)ので、数学を使う人達相手に積分論を教えるときに「∫_a^b」「dx」を「かっこ」「かっことじる」のようなものだと教えるのは記号法の使い方的にも問題ありすぎ。

記号法解説∫_a^b は「∫の右下に小さなa、右上に小さなb」の意味です。"_" は右下に小さな文字、"^" は右上に小さな文字の意味です。a_{ij}は「aの右下に小さなij」の意味。"{}" でグルーピングします。https://twitter.com/genkuroki/status/815760885251616770 …

#数楽 どこが身もふたもないかというと図におけるdfの定義の部分。この身もふたもないdfの定義の仕方は微分形式の定義に一般化される。

#数楽 "単純な方法で微分は誤差無しの分数とみなせる"https://twitter.com/i/moments/845956387414798337 …